19世紀の終わりごろ、古典力学ではどうしても説明できない実験結果がいくつも発見され、当時の物理学者たちは頭を悩ませました。「え！ミクロの世界はそんな感じになってるの？」と驚き、これまでの物理的な理論体系を大きく変更せざるを得ない状況に追い込まれます。
20世紀初頭の量子論の黎明期につくられた「前期量子論」では、これまで使ってきた古典力学に量子の性質を付け加える形で、何とか現象を理解しようと試みてきました。もちろん、「量子」という概念を導入したプランクをはじめとする偉大な物理学者たちの功績は素晴らしいことに疑いはありません。しかし、古典力学に量子性を加えることで実験を説明しようとする前期量子論では、量子の本来の姿のほんの一部を断片的にとらえることしかできなかったのです。
したがって、前期量子論における物理法則は、量子性を導入する根拠を示すことができなかったり、量子のふるまいを予言する能力も限定的であったり、多くの問題を抱えていました。真の意味で「量子」という存在を理解するためには、より完成された理論体系が必要だったのです。
本記事では、現代量子力学の理論体系を扱う前に、まずは多くの人にとってなじみのある中学校や高校で登場するニュートン力学を眺めてみたいと思います。次に、古典力学の別形式であるハミルトン力学についてもご紹介いたします。このハミルトン力学は学校ではあまり習わないのですが、形式が量子力学によく似ているため、この後の量子力学の理解をぐっと助けてくれること間違いなしです。それでは行ってみましょう！
ニュートン力学と運動方程式
私たちが学校で最初に学ぶ力学は、アイザック・ニュートンが作り上げた、いわゆるニュートン力学です。ニュートン力学を使うことで、物体の重さや形状、そして物体に働く力がわかっていれば、ある瞬間の物体の位置と速度から、その物体が未来にどのような運動をするのかを完全に予言することができます。
早速、ニュートン力学における運動方程式を眺めてみましょう。簡単のため、一次元運動をする質点（大きさを持たず、質量のみを持つ点）について考えます。ニュートン力学では、物体が運動する様子を調べるとき、次のような運動方程式を用います。
\[ F=ma \]
ここで、\(F\) は物体に働く力、\(m\) は質量、\(a\) は加速度を表しています。今は質点を考えているので、質量\(m\) には問題設定によって、いろいろな定数を入れればOKです。単位は「\(\mathrm{kg}\)」に統一します。\(1\mathrm{kg}\)の質点を考えているなら\(1\)を、\(1\)トンの質点を考えるなら\(1000\)を、\(1\)グラムの質点を考えるなら\(0.001\)を入れます。
質点に働く力\(F\) も問題設定に合わせて、私たちが決めます。力の単位は「\(\mathrm{N}\)（ニュートン、\(\mathrm{kg \cdot m / s^2}\)）に統一します。もし、質点に全く力が働いていないなら\(0\)を入れます。一定の力が質点に働き続けるなら定数を入れます。例えば、地球上の重力は質点の質量\(F\) と、重力加速度\(g\)（約\(9.8 \mathrm{m/s^2}\)）の積なので、\(F\) には\(mg\)を入れます。時間 \(t\) とともに変化する力が働くのであれば \(F\) は \(t\) の関数になります。
位置・速度・加速度の関係
加速度とは速度グラフの傾きである
加速度 \(a\) は「単位時間あたりにどれだけ速度 \(v\) が変化するか」という指標です。車で走っているとき、加速や減速をしている場合は、速度が時間とともに変化するため、加速度が有限の値になります。逆に、加速も減速もせずに、一定の速度で走っているときは加速度は \(0\) ですね。
文章だけだとわかりにくいのでグラフで考えてみましょう。横軸を時間、縦軸を速度にとってグラフを描くと、速度を時間の関数として表現することができます。このグラフ上での傾きが加速度の大きさになります。例えば、正の向きに進んでいる物体の場合を考えると、グラフの傾きが正のところでは、加速度も正で加速しています。逆にグラフの傾きが負の時は、加速度も負で、車は減速していることになります。
そして、この「傾き」を表す便利な表記法があります。文字の上にドット（ \(\cdot\) ）をつけるのです。加速度は速度の傾きなので \(\dot{v}\) と書きます。つまり数式で表すと、
\[ a = \dot{v} \]
と書けます。数学的には「加速度は速度の時間微分に等しい。」といいます。つまり、時間微分とは縦軸が速度で横軸が時間のグラフを描いて、そのグラフの傾きを求める操作を意味しています。
速度とは位置グラフの傾きである
さらに、速度は「単位時間あたりにどれだけ位置が変化するか」という指標です。これは小学校の算数から登場するので、すでにおなじみの概念かと思います。加速度と速度の関係と同じように、今度は位置を時間の関数としてグラフ化し、その傾きを求めると速度が求まります。
速度は位置の傾きなので \(\dot{x}\) と書きます。つまり数式で表すと、
\[ v = \dot{x} \]
と書けます。数学的には「速度は位置の時間微分に等しい」ということができます。縦軸が位置で横軸が時間のグラフを描き、そのグラフの傾きを求めると速度になることはもうお分かりですね！
加速度とは位置グラフの傾きの傾きである
今まで考えた加速度、速度、位置の関係をまとめてみましょう。位置の時間微分（グラフの傾き）が速度でした。また、速度の時間微分（グラフの傾き）が加速度でした。
ということは…そう、位置の時間微分の時間微分（グラフの傾きの傾き）が加速度ということになります。
位置のグラフを描いて、そこから傾きを２回求める操作を「位置の２階微分」といいます。漢字は「階」を使うので注意してくださいね。従って「加速度は位置の２階微分である」ということができます。数学の記号では文字の上にドット（ \(\cdot\) ）を２個付けます！
\[ a = \ddot{x} \]
運動方程式から未来の運動を予測する方法
そうなると、ニュートン力学における運動方程式、
\[ F=ma \]
は、
\[ F=m \ddot{x} \]
と書くことができます。この方程式は位置 \(x\) の２階の微分方程式と呼ばれます。この方程式を解くことによって、位置を時間の関数 \(x(t)\) として求めることができます。
方程式を解くときには、まず想定している状況に応じて力 \(F\) の形を決める必要があります。さらに、初期状態として時刻 \(t=0\) の時の初期位置 \(x_0\) 、初速度 \(v_0\) も必要になります。
こうして、位置に関する微分方程式を解くことで、ニュートン力学では時刻 \(t\) の関数として位置 \(x(t)\) を求めることができます。位置が時間に伴ってどう変化するかがわかれば、そこから速度 \(v(t)\) が時間に伴ってどう変化するかもわかるのです。
ニュートンの運動方程式で解ける簡単な例
さて、それでは１次元を運動する質点において、ニュートンの運動方程式 \[F=m\ddot{x}\] を使って求めることのできる位置の関数 \(x(t)\) の簡単な例をいくつかご紹介しましょう。ニュートンの運動方程式を解くと、インプットした力に対して、質点の位置が時間とともにどのように変化するのかを表す関数 \(x(t)\) を求めることができます。
等速直線運動
| 運動の種類 | インプットする力 \(F\) | 求まる位置 \(x(t)\) |
|---|---|---|
| 等速直線運動 | \(F=0\) | \(x(t)=x_0+v_0t\) |
力がまったく働いていない場合、質点は初速度 \(v_0\) を保ったまま一定の速度で進み続けます。これは「等速直線運動」を表しています。例えるならカーリングのストーンみたいにスーッと進んでいく運動ですね。
自由落下
| 運動の種類 | インプットする力 \(F\) | 求まる位置 \(x(t)\) |
|---|---|---|
| 自由落下 | \(F=-mg\) | \(x(t)=x_0+v_0t-\frac{1}{2}gt^2\) |
鉛直上向きを正方向にとったとき、下向きに働く重力（\(-mg\)）によって物体が一定の加速度で落下する「自由落下運動」を表しています。
ばねによる単振動
| 運動の種類 | インプットする力 \(F\) | 求まる位置 \(x(t)\) |
|---|---|---|
| 単振動 | \(F=-kx\) | \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\) |
ばね定数 \(k\) のばねにつないだ質量 \(m\) の質点がする運動です。ただし、\(\omega\)は角振動数であり \(\omega=\sqrt{k/m}\) です。位置 \(x\) が大きくなるほど平衡位置へ戻そうとする力が強くなるため、質点は \(x=0\) を中心に周期的に往復します。この運動を「単振動」と呼びます。
ハミルトン力学と運動方程式
さて、ニュートン力学では、物体に働く力をもとに運動方程式を作り、その方程式を解くことで物体の運動を予言できることを見てきました。実は古典力学には、ニュートン力学とは異なる方法で物体の運動を記述する理論体系が存在します。それがハミルトン力学です。
ハミルトン力学は、19世紀に数学者・物理学者のウィリアム・ローワン・ハミルトンによって体系化された力学です。ニュートン力学とは数式の形も考え方も異なりますが、同じ物理現象を扱う限り、基本的には同じ運動を予言します。つまり、どちらかが正しく、どちらかが間違っているというわけではありません。
では、なぜわざわざ別の方法で物体の運動を記述するのでしょうか。その理由の一つは、ハミルトン力学では、物体の運動をエネルギーという観点から整理できることです。さらに、この考え方は後に量子力学を作り上げる際にも非常に重要な役割を果たすことになります。
ハミルトン力学では位置と運動量を使う
ニュートン力学では、物体の位置 \(x\) と速度 \(v\) に注目して運動を考えました。一方、ハミルトン力学では、位置 \(x\) と運動量 \(p\) という二つの物理量を使って運動を記述します。運動量 \(p\) とは、物体の質量 \(m\) と速度 \(v\) の積で表される物理量で、物体がどの方向にどれくらいの勢いで運動しているかを表しています。
\[ p=mv \]
質量 \(m\) が一定の場合には速度 \(v\) と運動量 \(p\) は比例するので、位置 \(x\) と速度 \(v\) を使っても、位置 \(x\) と運動量 \(p\) を使っても、物体の運動を表すために必要な情報は変わりません。
ハミルトニアンとは何か？
ハミルトン力学では、ニュートン力学の「力」に代わって、ハミルトニアン \(H\) と呼ばれる量が中心的な役割を果たします。ハミルトニアン \(H\) は物体の位置 \(x\) と運動量 \(p\) の関数として表され、今回考えるような単純な力学系では、物体の全力学的エネルギーに等しくなります。
特に、今考えているような一次元の質点が、位置だけで決まる力を受けて運動する場合には、ハミルトニアンは運動エネルギーと位置エネルギーの和で表すことができます。
\[ H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x) \]
ここで、\(m\) は質点の質量、\(V(x)\) は位置エネルギーを表します。第一項の \(p^2/2m\) は運動エネルギーです。つまり、この場合のハミルトニアンは、物体が持つ力学的エネルギーそのものを表しているのです。
ハミルトンの運動方程式
ニュートン力学では、物体に働く力を \(F=ma\) に代入して運動方程式を作りました。それでは、ハミルトン力学ではどのように運動方程式を作るのでしょうか。実は、ハミルトニアンがわかれば、次の二つの方程式から運動を求めることができます。
\[ \dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p} \]
\[ \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x} \]
これらをハミルトンの正準方程式と呼びます。ここで登場する \(\partial\) は偏微分と呼ばれる数学的な記号で、通常の微分と同様に変化率を計算するための記号です。例えば、ハミルトニアン \(H\) の運動量 \(p\) による偏微分 \(\partial H/\partial p\) は、運動量 \(p\) がわずかに変化したときの全エネルギー \(H\) の変化率（傾き）という意味です。同様に、ハミルトニアン \(H\) の位置 \(x\) による偏微分 \(\partial H/\partial x\) は、位置 \(x\) がわずかに変化したときの全エネルギー \(H\) の変化率（傾き）です。
ですから、一つ目の方程式は「時間に対する位置の変化率」が「運動量に対する全エネルギーの変化率」に等しい、ということを意味しています。同様に、二つ目の方程式は「時間に対する運動量の変化率」が「位置に対する全エネルギーの変化率に「\(-1\)」をかけたもの」に等しい、ということを表しています。
ニュートンの運動方程式は位置についての二階微分方程式でしたが、ハミルトンの正準方程式は位置と運動量についての二つの一階微分方程式になっています。
ハミルトン力学でやっていること
さて、ここまで見てきたように、ハミルトン力学では、まず位置と運動量を使って全エネルギーであるハミルトニアン \(H(x,p)\) を設定します。そして、ハミルトニアンの位置と運動量に対する変化率（偏微分）を計算することで、位置 \(x(t)\) と運動量 \(p(t)\) の時間変化を求めることができます。
ニュートン力学では「物体にどのような力が働くのか」を出発点としましたが、ハミルトン力学では「物体のエネルギーが位置と運動量によってどのように決まるのか」を出発点としています。このように、出発点となる物理量は違っていても、最終的には物体の運動を同じように予言することができます。
ハミルトン力学のメリット
ニュートン力学は、物体に働く力がわかれば、その後の運動を予言できる非常に強力な理論です。それでは、なぜわざわざ別の方法で物体の運動を記述するハミルトン力学が生まれたのでしょうか。実は、ハミルトン力学は単にニュートン力学を別の数式で書き直したものではなく、複雑な運動をより統一的に取り扱うために発展した理論なのです。
ニュートン力学では、物体に働く力を調べて運動方程式を作ります。しかし、扱う物体の数が増えたり、複雑な条件が加わったりすると、運動方程式を立てること自体が難しくなります。例えば、二つの振り子をつなげた二重振り子や、複数の天体が互いに重力を及ぼす運動、回転と並進が組み合わさった剛体の運動などが挙げられます。
もちろん、これらの運動もニュートン力学で取り扱うことができます。しかし、物体に働く力を一つひとつ分解し、物体同士をつなぐ拘束力まで考慮するのは大変です。そこで物理学者たちは、力を直接計算するだけではなく、エネルギーなどを利用して運動を統一的に記述する方法を発展させてきました。
そのような流れの中で、19世紀にウィリアム・ローワン・ハミルトンが、位置と運動量を使って運動を記述するハミルトン力学を体系化しました。つまり、ハミルトン力学は、古典力学をより一般的で体系的な形へと発展させてきた歴史の中で生まれたものなのです。
それではハミルトン力学を用いることで具体的にどのような利点があるのかを見ていきましょう。
エネルギーを考えると運動の見通しがよくなる
ハミルトン力学の利点は、エネルギーに着目することで運動の全体像がとらえやすくなることです。例えば、ばねにつながれた質点が単振動する場合を考えてみましょう。
ニュートン力学では、ばねが質点を引っ張る力を考え、２階の微分方程式を作り、それを解くことで時刻 \(t\) の関数としての位置 \(x(t)\) を求めました。２階の微分方程式を解くのは少し厄介ですし、解いた結果も「位置と速度が周期的に振動する」という以上の 情報は得られません。
一方、ハミルトン力学では、運動エネルギーと位置エネルギーの和を考えます。このような簡単な系では、ハミルトニアンと呼ばれる量が全力学的エネルギーに等しくなり、次のように表されます。
\[ H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2 \]
ハミルトン力学では、このようにハミルトニアンを作った段階で、すでに運動の大部分を見通すことができます。まず、このハミルトニアンを見ると時間 \(t\) に直接依存しておらず、質点が運動している間もハミルトニアンの値は一定に保たれることがわかります。つまり系の全エネルギーが保存されていることが明確にわかります。
仮に、このばねがついた質点のもつ全エネルギーを \(E\) としましょう。そうすると、先ほどのハミルトニアンは次のように書き表されます。
\[ \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2=E \]
はい、ほとんど何も変わってないですね。ちなみに、この \(E\) は初期条件として位置 \(x_0\) と運動量 \(p_0\) を決めれば、具体的な数字として計算することができます。さて、次にこの式をちょっと変形してみます。
\[ \frac{x^2}{2E/k}+\frac{p^2}{2mE}=1 \]
この式の形は、高校数学で習う楕円の方程式（\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)）と同じです。つまりハミルトニアンの構造だけから、ばねがついた質点の運動は、位置と運動量を変数とする楕円と見なすことができるとわかるのです。図にするとこんな感じになります。
先ほど、系の全エネルギー \(E\) は初期条件で決まる、ということに触れましたが、もしばねをうーんと縮めて、質点にたっぷりばねエネルギーを蓄えて手を離せば、この楕円は大きくなりますし、逆にちょっとだけしかばねを縮めずに手を離せば、楕円は小さくなります。
このように、ハミルトン力学ではエネルギーの構造だけから、大まかな運動の様子が見えてくる場合もあります。これは、より複雑な運動を取り扱うときはとても大きなメリットになります。
位置と運動量の組が運動の状態を表す
さらに、ハミルトン力学のもう一つの重要な特徴は、位置と運動量の組合せが物体の状態を表しているところです。ニュートン力学では、位置や速度を時間の関数として表現しますが、ハミルトン力学では必ずしも時間を横軸にとったグラフを考えません。むしろ、先ほどの例にもあったように位置と運動量を変数とする平面を考え、その中の１点が運動の状態であると考えます。
そして、実際の空間ではばねにつながれてビヨンビヨンしている質点の運動が、この位置と運動量で表される平面では、先ほど示した楕円軌道に沿って、運動の状態を表す点 \((x, p)\) が、ぐるぐる回っている運動として表されます。
そして、学校ではあまり習わないハミルトン力学をご紹介した最大の理由がハミルトン力学と量子力学との関係にあります。やっとここまで来ました！ 実は、これから紹介する量子力学の理論体系も、このハミルトン力学がベースになっています。
考えている全エネルギーをハミルトニアンとして表したり、「状態」を使って量子の運動を表現したり、まさにハミルトン力学と同じ流れで量子の運動を考えるのです。
1830年代に体系化されたハミルトン力学は、もともとは古典力学をより一般的に記述するために発展しました。ところが、この古典力学の数学的な形式が、約100年の時を経て量子力学の誕生にも重要な役割を果たしたのです。
まとめ
いかがでしたか？ ニュートン力学とハミルトン形式は、同じ古典力学を異なる方法で表現したものです。最後に、これら二つの理論体系について簡単にまとめたいと思います。
ニュートン力学では、物体に働く力 \(F\) から運動方程式を作り、それを解くことで位置の時間変化 \(x(t)\) を求めます。一方、ハミルトン形式では、系の全エネルギーを表すハミルトニアン \(H\) から位置 \(x(t)\) と運動量 \(p(t)\) の時間変化を求めます。どちらの方法でも、運動の法則と初期状態が分かれば、その後の運動を予測できます。
ハミルトン形式の大きな特徴は、位置と運動量を対等な変数として扱うことです。また、これらの変数のセットは物体の「状態」を表すパラメーターと見なすこともできます。これにより、力学系が持つエネルギーの構造が明示的になり、運動の特徴をクリアにとらえることができました。
| 比較項目 | ニュートン力学 | ハミルトン形式 |
|---|---|---|
| 出発点 | 力 \(F\) | ハミルトニアン \(H\) |
| 基本となる変数 | 位置 \(x\) と速度 \(v\) | 位置 \(x\) と運動量 \(p\) |
| 運動方程式 | 加速度を求める式 | 位置と運動量の変化を求める2つの式 |
| 初期条件 | \(x_0\) 、 \(v_0\) | \(x_0\) 、 \(p_0\) |
| 1次元粒子の自由度 | 実数2個 | 実数2個 |
| 得られる運動 | \(x(t)\) 、 \(v(t)\) | \(x(t)\) 、 \(p(t)\) |
さらにハミルトン力学の数学的な構造は、20世紀に入って体系化された量子力学においても中心的な役割を果たしています。量子力学では位置と運動量を単なる実数ではなく、「演算子」という関数や行列に作用する数学的な要素におきかえます。また、ハミルトン形式で運動の状態を表すために使っていた実数のセットにも、量子力学では複素数の行列や関数を用います。
このように考えると、ハミルトン力学の拡張版が現代量子力学の理論体系といえます。次の記事では、ハイゼンベルクの行列力学を使って、量子の運動を予測する方法を考えていきましょう。
